Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка . Требуется найти функцию , удовлетворяющую при дифференциальному уравнению и при начальному условию .

Теорема существования и единственности задачи Коши. Пусть функция определена и непрерывна на множестве точек . Предположим также, что она удовлетворяет условию Липшица: для всех и произвольных , , где - некоторая константа (постоянная Липшица). Тогда для каждого начального значения существует единственное решение задачи Коши, определенное на отрезке .

Геометрически задача интегрирования дифференциальных уравнений состоит в нахождении интегральных кривых, которые в каждой своей точке имеют заданное направление касательной. Заданием начального условия мы выделяем из семейства решений ту единственную кривую, которая проходит через фиксированную точку

Численное решение задачи Коши состоит в построении таблицы приближенных значений в точках . Точки , называются узлами сетки, а величина - шагом сетки. В основе построения дискретной задачи Коши лежит тот или иной способ замены дифференциального уравнения его дискретным аналогом. Простейший метод основан на замене левой части уравнения правой разностной производной: . Разрешая уравнение относительно , получаем расчетную формулу метода Эйлера: , .

Численный метод называется явным, если вычисление решения в следующей точке осуществляется по явной формуле. Метод называется одношаговым, если вычисление решения в следующей точке производится с использованием только одного предыдущего значения . Метод Эйлера является явным одношаговым методом.

Локальной погрешностью метода называется величина . Найдем величину локальной погрешности метода Эйлера: , при условии, что . Другими словами погрешность, которую допускает за один шаг метод, стартующий с точного решения. Глобальной погрешностью (или просто погрешностью) численного метода называют сеточную функцию со значениями в узлах. В качестве меры абсолютной погрешности метода примем величину . Можно показать, что для явных одношаговых методов из того, что локальная погрешность имеет вид следует, что , где и M - некоторые константы. Таким образом, метод Эйлера является методом первого порядка точности. Для нахождения решения задачи Коши с заданной точностью требуется найти такое приближенное решение , для которого величина глобальной погрешности . Так как точное решение задачи неизвестно, погрешность оценивают с помощью правила Рунге.

Правило Рунге оценки погрешностей. Для практической оценки погрешности проводят вычисления с шагами h и h/2. За оценку погрешности решения, полученного с шагом h/2, принимают величину, равную , где p - порядок метода.

Метод Эйлера обладает медленной сходимостью, поэтому чаще применяют методы более высокого порядка точности. Второй порядок точности по имеет усовершенствованный метод Эйлера : . Этот метод имеет простую геометрическую интерпретацию. Метод Эйлера называют методом ломаных, так как интегральная кривая на отрезке заменяется ломаной с угловым коэффициентом . В усовершенствованном методе Эйлера интегральная кривая на отрезке заменяется ломаной с угловым коэффициентом, вычисленным в средней точке отрезка . Так как значение в этой точке неизвестно, для его нахождения используют метод Эйлера с шагом .

Еще одна модификация метода Эйлера второго порядка - метод Эйлера-Коши:

Пусть требуется решить нормальную систему дифференциальных уравнений:

с начальными условиями: , , .

Эту систему в векторной форме можно записать в виде: , . Здесь , , . Расчетная формула метода Эйлера имеет вид: , .