Задание 12 . Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой:

б) – ломаная, соединяющая точки А(0), В(i), С(1);

Следовательно, вводя параметр t, 0 t 1 , получаем для точек z, лежащих на кривой АВ: z=t+it 2 , при 0 t 1.

Тогда, воспользовавшись формулой вычисления интеграла, получаем:

2-й способ: Так как подынтегральная функция аналитическая во всей комплексной плоскости, то применима формула Ньютона-Лейбница. Учитывая, что A=0; B=1+i, получаем

б) 1-й способ: Разделим наш интеграл на два по отрезкам прямых АВ и ВС. Имеем:

Отрезок АВ в параметрической форме задаётся соотношением z=t, 0 t 1. Тогда

Отрезок ВС представляет собой отрезок прямой y=-x+1, 0x 1. Однако обход осуществляется от точки В к точке С, и в параметрической форме его можно записать в следующем виде

Т. е. z=(1-t)+it=t(i-1)+1, 0 t 1.

2-й способ: Подынтегральная функция – аналитическая во всей комплексной плоскости, следовательно, интеграл не зависит от пути интегрирования и справедлива формула Ньютона-Лейбница. Таким образом, справедливо равенство

в) Контур интегрирования – окружность радиуса R, следовательно, на ней z=a+Re i j, 0 j 2 p. Тогда

Задание 13. С помощью интегральной формулы Коши вычислить интегралы:

Функция – аналитическая в круге { z:| z–i| 1} , но тогда по интегральной формуле Коши получаем

б) Функция – аналитическая в круге { z:| z+ i| 1} , следовательно, по интегральной формуле Коши

Пусть сначала 0<R<1. Тогда функция – аналитическая в круге { z:| z| R} , но по теореме Коши интеграл по замкнутой кривой равен 0, т. е. искомый интеграл равен 0.

1-й способ. Подынтегральную функцию представим в виде

Каждый из интегралов в скобках вычисляется по формуле Коши, так же как и в пунктах а), б) при этом получаем:

2-й способ . Окружим особые точки подынтегральной функции замкнутыми кривыми g ₁, g ₂. Тогда, применив теорему Коши для многосвязных областей (в нашем случае это трехсвязная область, граница, которой состоит из окружности и контуров g ₁, g ₂), получаем: