Поскольку последовательность неубывающая, то при имеем:

Здесь мы также использовали (1.3). Комбинируя с (1.2), находим:

Это и означает, что число является пределом последовательности .

2) Пусть теперь последовательность является невозрастающей ограниченной последовательностью:

Поскольку последовательность ограничена, то она имеет точную нижнюю границу

Поскольку последовательность невозрастающая, то при имеем:

Здесь мы также использовали (2.3). Учитывая (2.2), находим:

Это и означает, что число является пределом последовательности .

Теперь рассмотрим неограниченные последовательности.

3) Пусть последовательность является неограниченной неубывающей последовательностью.

Поскольку последовательность неубывающая, то для всех n выполняются неравенства:

Поскольку последовательность является неубывающей и неограниченной, то она неограниченна с правой стороны. Тогда для любого числа M существует такой номер , зависящий от M , для которого

Поскольку последовательность неубывающая, то при имеем:

Итак, для любого числа M существует такое натуральное число , зависящее от M , так что для всех номеров выполняются неравенства:

Это означает, что предел последовательности равен плюс бесконечности:

4) Наконец рассмотрим случай, когда является неограниченной невозрастающей последовательностью.

Аналогично предыдущему, поскольку последовательность невозрастающая, то

Поскольку последовательность является невозрастающей и неограниченной, то она неограниченна с левой стороны. Тогда для любого числа M существует такой номер , зависящий от M , для которого

Поскольку последовательность невозрастающая, то при имеем:

Итак, для любого числа M существует такое натуральное число , зависящее от M , так что для всех номеров выполняются неравенства:

Это означает, что предел последовательности равен минус бесконечности:

Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности:

Представим последовательность в виде рекуррентных формул:

Докажем, что заданная последовательность ограничена сверху значением

Доказательство выполняем методом математической индукции.

Докажем, что последовательность монотонно возрастает.

Поскольку , то знаменатель дроби и первый множитель в числителе положительные. В силу ограниченности членов последовательности неравенством (П1), второй множитель также положителен. Поэтому

То есть последовательность является строго возрастающей.

Поскольку последовательность возрастает и ограничена сверху, то она является ограниченной последовательностью. Поэтому, по теореме Вейерштрасса, она имеет предел.