Задача 1. Даны координаты вершин треугольника A(2;2), B(-2;-8),C(-6;-2).

Требуется составить уравнение высоты BD и определить острый угол между этой высотой и стороной BC.

Решение. Найдём уравнение стороны AC по формуле

или , где угловой коэффициент .

Уравнение высоты BD: , гдеи- координаты точкиВ. Здесь .

Запишем уравнение стороны BC и найдём :или

3x+2y+22=0, .

Тогда, поскольку угол DBC=должен быть острым,

и .

Задача 2. Найти проекцию т. M(-3;3;3) на прямую

Решение. Через т. М проводим плоскость, перпендикулярную данной прямой. Точка пересечения этой плоскости с данной прямой и будет искомой точкой N.

Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно заданной прямой:

-4(x + 3) + 2(y - 3) - 2(z - 3) = 0 или 2x –y + z + 6 = 0. Теперь нужно найти точку пересечения этой плоскости и данной прямой. Для этого решим систему уравнений прямой и плоскости. Решаем методом Крамера.

.

Задача 3. Найти точку М пересечения прямой и плоскости 2x +y + 7z – 3 = 0.

Решение. Чтобы найти координаты точки пересечения, нужно решить систему уравнений прямой и плоскости. Это удобно сделать так. Запишем уравнение прямой в параметрической форме:

Подставим выражение x, y, z через параметр t в уравнение плоскости:

Откуда получаем t= 1, поэтому точка пересечения имеет координаты

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей 26

Выражение смешанного произведения через координаты векторов 29

Примеры решения задач по теме: «Векторная алгебра». 30

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не принадлежащие одной прямой 37

Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. 38

Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду 40

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки 48

Условие принадлежности двух прямых одной плоскости 50

Некоторые задачи на построение прямых и плоскостей 50

Примеры решения задач по теме «Аналитическая геометрия» 55

Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду 59

Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка». 66