Признак сравнения рядов и признак Даламбера являются достаточными признаками сходимости рядов, так как исследование ряда с помощью этих признаков даёт однозначный ответ на вопрос о том, сходится ряд или расходится.

Применение признака сравнения заключается в том, что исследуемый ряд сравнивают с рядом, сходимость которого заранее известна. Признак Даламбера предполагает найти предел отношения некоторого ряда к предыдущему члену того же ряда.

Теорема (признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами

причём члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго, т.е.

Тогда из сходимости второго ряда следует сходимость первого, а из расходимости первого ряда – расходимость второго.

Замечание. Условие (18) не обязательно должно выполняться с первых членов рядов и только для членов с одинаковыми номерами. Достаточно, чтобы оно выполнялось начиная с некоторого номера k или чтобы имели место неравенства

Решение. Члены данного ряда не превосходят соответствующих членов сходящегося геометрического ряда с общим членом

Согласно признаку сравнения, данный ряд также сходится.

то члены данного ряда меньше членов

сходящегося ряда (2) (его сходимость доказана в примере 1). На основании признака сравнения и приведённого выше замечания данный ряд также сходится.

Сравним данный ряд с гармоническим рядом (4). Первые их члены совпадают, а остальные члены данного ряда больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда:

Согласно признаку сравнения, данный ряд также расходится.

Трудность применения на практике признака сравнения состоит в необходимости иметь «запас» рядов, сходимость (или расходимость) которых известна, а среди них подобрать такой, чтобы выполнялось условие (18). Для сравнения часто используются геометрические ряды при различных значениях q, гармонический ряд, ряд и др.

Признак Даламбера, скорее всего, работает, если в выражение ряда входят:

• число в степени,
• факториал,
• цепочки множителей один-три-пять-семь и так далее.

Основной фигурант признака Даламбера - дробь, в числителе которой некоторый член ряда, а в знаменателе - предыдуший член того же ряда. Вычисляется предел этого отношения. Впрочем, перейдём к научной форме изложения признака Даламбера.

Теорема (признак Даламбера). Пусть для ряда с положительными членами при существует предел отношения (n + 1)-го члена к предыдущему ему n-му члену, т.е.

Тогда: а) если , то ряд сходится; б) если , то ряд расходится; в) если , то вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Так как , а , то

Пример 6. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Таким образом, получилась неопределённость вида ∞/∞. Раскроем её с помощью правила Лопиталя:

Поскольку l = 1, о сходимости ряда ничего определённого сказать нельзя. Необходимо дополнительное исследование. Сравним данный ряд с гармоническим. Так как при n > 1 получается ln (n + 1) < n, то 1/ln (n + 1) > 1/(n + 1), т.е. члены данного ряда, начиная со второго, больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда, а поэтому данный ряд также расходится.

Пример 7. Исследовать сходимость ряда с общим членом

Признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда. Продолжим исследование. Поскольку n < n +1, имеем

Следовательно, члены данного ряда меньше соответствующих членов ряда, сходимость которого доказана в примере 2 параграфа «Понятие о числовом ряде», и, значит, данный ряд сходится.