Площадь плоской фигуры (области D) рассчитывается по формуле

S =

Масса тонкой плоской пластинки, являющейся областью D и с плотностью μ = μ(x; y), определяется следующим образом:

m =

Объем цилиндрического тела, построенного на основании D, ограниченного сверху соответствующим куском поверхности z = f(x; y) и стоящего на плоскости XOY, рассчитывается следующим образом:

v =

Пример 2. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле, если область D ограничена линиями: y = x 2 , x = 2, y = 0 (рисунок 58).

Пример 3. Изменить порядок интегрирования в интеграле

J = +

В рассматриваемом примере следует начинать с построения области интегрирования, поскольку интегралы заданы с указанием порядка интегрирования и пределов по соответствующим переменным. Напомним, что переменные пределы интегрирования внутреннего

интеграла являются границами изменения x при фиксированном y. Поэтому область интегрирования D₁ для первого интеграла можно задать неравенствами где и представляют собой дуги параболы y = x 2 – 1, лежащие ниже оси Ox. Область интегрирования во втором интеграле имеет вид где кривые и представляют собой дуги параболы

y = x 2 – 1 и дугу окружности (x – 2) 2 + y 2 = 9, лежащие выше оси Ox.

Пусть D = D₁U D₂ (рисунок 58). Тогда каждая прямая x = const, xÎ[–1; 2], пересекает множество D по отрезку с концами y = x 2 – 1 и

y = Следовательно, область D можно представить в виде

Заметим, что перемена порядка интегрирования в повторном интеграле иногда существенно упрощает его вычисление.

Пример 4.Вычислить интеграл где область D ограничена линиями: y = ln x, y = + 2и y = 0 (рисунок 59).

При каждом фиксированном значении y, y [0; 1], значение x меняется от x = e y до x = (2 – y)e. Поэтому

Интегрируя теперь функцию φ(y) по y в пределах от y = 0до y = 1, получим

При вычислении интеграла используем форму интегрирования по частям. Имеем

=

Итак,