Если вещественные числа условимся изображать точками на данной оси ОХ, то изменение вещественной переменной приводится к передвижению соответствующей точки по оси ОХ. Совершенно аналогично изменению комплексной переменной приводится к передвижению изображающей точки по плоскости

Особенно интересен тот случай, когда переменная С при своем изменении описывает некоторую кривую; это случится тогда, когда вещественная и мнимая части, т. е. координаты и у, суть функции некоторого параметра который мы будем считать вещественным

и будем называть это уравнение — уравнением рассматриваемой кривой (41) в комплексной форме.

Уравнения (41) дают параметрическое представление кривой в прямоугольных координатах. К представлению ее в полярных координатах мы придем, если напишем переменную С в показательной форме:

В этом выражении множитель есть не что иное, как множитель же который в случае вещественных или совпадает со «знаком» (±1), есть вектор длины единицы и обозначается символом

К необходимости рассмотрения уравнений кривых в комплексной форме приводят векторные диаграммы. Если мы в соотношении

будем считать вектор тока j постоянным, но будем менять какую-нибудь из различных постоянных цепи, то будет меняться кажущееся сопротивление и вектор v; конец этого вектора v опишет кривую, которая называется диаграммой напряжения, построив которую, мы получим ясную картину изменения вектора v. Точка также опишет кривую (диаграмма сопротивления), которая только выбором масштаба будет отличаться от диаграммы напряжения (за единицу будет принят вектор ).

Рассмотрим теперь уравнения некоторых простейших кривых.

1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку и образующий угол а с осью ОХ:

параметр и означает здесь расстояние, отсчитываемое от точки до .

2. Уравнение окружности с центром в точке и радиусом :

3. Эллипс с центром в начале координат и полуосями а и причем большая ось направлена по оси ОХ, имеет в комплексной форме уравнение [177]:

Если большая ось образует угол с осью ОХ, то уравнение эллипса примет вид

В общем случае, когда центр эллипса находится в точке и большая ось образует угол с осью ОХ, эллипс будет иметь уравнение

Если уравнение это обращается в уравнение окружности радиуса а:

где так же как и - вещественный параметр. Если получим отрезок прямой:

образующий угол с осью ОХ, длины , середина которого в точке ибо параметр вещественный, подобно и, но может принимать значения только между ( - а) и (+а).

Рассматривая случаи окружности и отрезка прямой как предельные случаи эллипса, получающиеся, когда малая полуось становится равной большой или обращается в нуль, мы можем теперь сказать вообще, что уравнение

где - какие угодно комплексные числаг всегда представляет уравнение эллипса.

откуда ясно, что рассматриваемая кривая есть действительно эллипс с центром в точке полуосями и большая ось которого образует угол с осью ОХ, т. е. имеет направление биссектрисы угла между векторами При эллипс обращается в окружность, при в отрезок прямой.

4. При исследовании явлений переменного тока в цепях с непрерывно распределенными сопротивлениями, емкостями и самоиндукцией большое значение имеют кривые, уравнение которых в комплексной форме имеет вид

где — какие угодно комплексные постоянные.

Положив и переходя к полярным координатам, имеем отсюда

т. е. рассматриваемая кривая есть логарифмическая спираль рис. 180, соответствующий случаю

и вычисляя геометрически при каждом значении и сумму соответствующих значений