Задача суммирования множества слагаемых решается в теории рядов.

Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n–й частичной суммой ряда.

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел частичной суммы S_n при n, то есть

C помощью этого признака можно установить расходимость ряда.

Причем тогда, если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

Сравним этот ряд с геометрическим рядом:

Следовательно, по признаку сравнения искомый ряд сходится.

при

при

при вопрос о сходимости остается открытым.

по признаку Даламберу ряд сходится.

1) при

2) при

3) при вопрос о сходимости остается открытым.

положительны и не возрастают, то есть и являются значениями непрерывной невозрастающей функцииf(x) при x= 1, 2, …, n.

Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл:

Следовательно, ряд расходится, так как расходится несобственный интеграл.

Ряд называется знакопеременным, если любой его член может быть, как положительным, так и отрицательным.

члены убывают по абсолютной величине, то есть и

то ряд сходится, и его сумма не превосходит первого члена, то есть S ≤.

Теорема 2. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.

Если для знакопеременного ряда сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов , то данный знакопеременный ряд сходится.

из абсолютных величин членов исходного ряда сходится, как обобщенный гармонический ряд при .

Этот признак является достаточным, но не необходимым, то есть существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, хотя ряды, составленные из абсолютных величин, расходятся.

Определение 1. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Определение 2.Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Отличие между ними в том, что абсолютно сходящийся ряд сходится из-за того, что его члены быстро убывают, а условно сходящийся ряд сходится из-за того, что положительные и отрицательные члены уничтожают друг друга.

Следовательно, ряд сходится по Лейбницу. Но ряд составленный из абсолютных величин его членов расходится, как гармонический.