Положение точки в пространстве может быть задано двумя её ортогональными проекциями, например, горизонтальной и фронтальной, фронтальной и профильной. Сочетание любых двух ортогональных проекций позволяет узнать значение всех координат точки, построить третью проекцию, определить октант, в котором она находится. Рассмотрим несколько типичных задач из курса начертательной геометрии.

По заданному комплексному чертежу точек A и B необходимо:

Определим сначала координаты т. A, которые можно записать в виде A (x, y, z). Горизонтальная проекция т. A – точка A', имеющая координаты x, y. Проведем из т. A' перпендикуляры к осям x, y и найдем соответственно A_х, A_у. Координата х для т. A равна длине отрезка A_хO со знаком плюс, так как A_х лежит в области положительных значений оси х. С учетом масштаба чертежа находим х = 10. Координата у равна длине отрезка A_уO со знаком минус, так как т. A_у лежит в области отрицательных значений оси у. С учетом масштаба чертежа у = –30. Фронтальная проекция т. A – т. A'' имеет координаты х и z. Опустим перпендикуляр из A'' на ось z и найдем A_z. Координата z точки A равна длине отрезка A_zO со знаком минус, так как A_z лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа z = –10. Таким образом, координаты т. A (10, –30, –10).

Координаты т. B можно записать в виде B (x, y, z). Рассмотрим горизонтальную проекцию точки B – т. В'. Так как она лежит на оси х, то B_x = B' и координата B_у = 0. Абсцисса x точки B равна длине отрезка B_хO со знаком плюс. С учетом масштаба чертежа x = 30. Фронтальная проекция точки B – т. B˝ имеет координаты х, z. Проведем перпендикуляр из B'' к оси z, таким образом найдем B_z. Аппликата z точки B равна длине отрезка B_zO со знаком минус, так как B_z лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа определим значение z = –20. Таким образом, координаты B (30, 0, -20). Все необходимые построения представлены на рисунке ниже.

Точки A и B в плоскости П₃ имеют следующие координаты: A''' (y, z); B''' (y, z). При этом A'' и A''' лежат одном перпендикуляре к оси z, так как координата z у них общая. Точно также на общем перпендикуляре к оси z лежат B'' и B'''. Чтобы найти профильную проекцию т. A, отложим по оси у значение соответствующей координаты, найденное ранее. На рисунке это сделано с помощью дуги окружности радиуса A_уO. После этого проведем перпендикуляр из A_у до пересечения с перпендикуляром, восстановленным из точки A'' к оси z. Точка пересечения этих двух перпендикуляров определяет положение A'''.

Точка B''' лежит на оси z, так как ордината y этой точки равна нулю. Для нахождения профильной проекции т. B в данной задаче необходимо лишь провести перпендикуляр из B'' к оси z. Точка пересечении этого перпендикуляра с осью z есть B'''.

Наглядно представляя себе пространственный макет, составленный из плоскостей проекций П₁, П₂ и П₃, расположение октантов, а также порядок трансформации макета в эпюр, можно непосредственно определить, что т. A расположена в III октанте, а т. B лежит в плоскости П₂.

Другим вариантом решения данной задачи является метод исключений. Например, координаты точки A (10, -30, -10). Положительная абсцисса x позволяет судить о том, что точка расположена в первых четырех октантах. Отрицательная ордината y говорит о том, что точка находится во втором или третьем октантах. Наконец, отрицательная аппликата z указывает на то, что т. A расположена в третьем октанте. Приведенные рассуждения наглядно иллюстрирует следующая таблица.