Пусть подынтегральное выражение есть рациональная дробь , где и - полиномы (многочлены) степеней k и n соответственно. Не умаляя общности, можем считать, что k < n, так как в противном случае всегда можно представить числитель в виде P(x) = Q(x)R(x) + S(x) где R(x)и S(x) -полиномы, называемые обычно, как и в случае действительных чисел, частным и остатком, причем степень полинома S(x) меньше n . Тогда

а интеграл от полинома R(x) мы вычислять умеем. Покажем на примере, как можно получить разложение (1.1). Пусть

P(x)=x 7 +3x 6 +3x 5 –3x₃+4x₂+x-2, Q(x)=x 3 +3x 2 +x-2. Разделим полином P(x) на полином Q(x) так же, как мы делим вещественные числа (решение получаем через калькулятор деления столбиком ). Имеем

Таким образом, мы получили целую часть дроби (частное от деления полинома P на полином Q) R(x) = x 4 + 2x 2 – 4x + 7 и остаток S(x) = 9x 2 – 14x +12 от этого деления.

По основной теореме алгебры любой полином может быть разложен на простейшие множители, то есть представлен в виде , где x_l – корни полинома Q(x) повторенные столько раз, какова их кратность.

Пусть полином Q(x) имеет n различных корней x₁, x₂. x_n. Тогда правильная рациональная дробь может быть представлена в виде , где A₁, A₂. A_n - числа подлежащие определению. Если x_i - корень кратности α , то ему в разложении на простейшие дроби соответствует α слагаемых . Если x_j - комплексный корень кратности α полинома с действительными коэффициентами, то комплексно сопряженное число - тоже корень кратности α этого полинома. Чтобы не иметь дело с комплексными числами при интегрировании рациональных дробей, слагаемые в разложении правильной рациональной дроби, соответствующие парам комплексно сопряженных корней, объединяют и записывают одним слагаемым вида , если – корни кратности один. Если – корни кратности α, то им соответствует α слагаемых и соответствующее разложение имеет вид

Таким образом, интегрирование правильных рациональных дробей свелось к интегрированию простейших дробей, из которых являются табличными, может быть найден по рекуррентной формуле, которая получается интегрированием по частям. Интегралы , в случае, когда знаменатель имеет комплексные корни (дискриминант ), сводятся, с помощью выделения полного квадрата, к интегралам , заменой .

Одним из способов нахождения коэффициентов A_j, M_j, N_j в разложении правильной рациональной дроби является следующий. Правую часть полученного разложения с неопределенными коэффициентами A_j, M_j, N_j приводят к общему знаменателю. Так как знаменатели правой и левой частей равны, то должны быть равны и числители, которые являются полиномами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x (так как полиномы равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x ), получаем систему линейных уравнений для определения этих коэффициентов.

1. Найти .

Корни знаменателя – x₁ = -2 кратности 1 и x₂=1 кратности 2. Поэтому x 3 – 3x + 2 = (x+2)(x-1) 2 и подынтегральная функция может быть представлена в виде

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей последнего соотношения, получаем

2. Найти .

Корни знаменателя – x₁=2 кратности 1 и два комплексных корня x_2,3, = -1±i. Поэтому x 3 – 2x – 4 = (x-2)(x 2 + 2x+2) и подынтегральная функция может быть представлена в виде

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей последнего соотношения, получаем

Также рекомендуется ознакомиться с возможностью решения интегралов онлайн.