Регулярно на едином государственном экзамене по математике выпускники сталкиваются с заданием следующего содержания: «По графику производной функции y = f'(x) определите. » Такого рода задания мало представлены в школьных учебниках алгебры и начал анализа, из-за чего ряд учащихся испытывает определенные трудности в их решении. В этой связи хотелось бы поделиться опытом по формированию навыков решения задач, связанных с графиком производной.

Для их успешного решения с учениками нужно повторить (актуализировать) следующие теоретические положения:

• достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке;

Эти положения желательно зафиксировать в виде формул и схем (особенно они полезны для тех учеников, у которых преобладает наглядно-образное мышление):

Далее в классе целесообразно рассмотреть ключевую задачу: по приведенному графику производной ученики должны придумать (конечно же, с помощью учителя) различные вопросы, относящиеся к свойствам самой функции. Естественно, что эти вопросы обсуждаются, в случае необходимости корректируются, обобщаются, фиксируются в тетради, после чего наступает этап решения этих заданий. Здесь необходимо добиться того, чтобы ученики не просто давали правильный ответ, а умели его аргументировать (доказывать), с использованием соответствующих определений, свойств, правил.

Приведем пример такой задачи: на доске (например, с помощью проектора) учащимся предлагается график производной, по нему было сформулировано 10 заданий (не совсем корректные или дублирующие вопросы отвергались).

Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [–6; 6].

1) количество промежутков возрастания функции y = f(x);

5) критическую (стационарную) точку функции y = f(x), которая не является точкой экстремума;

6) абсциссу точки графика, в которой функция y = f(x) принимает наибольшее значение на отрезке [0; 4];

7) абсциссу точки графика, в которой функция y = f(x) принимает наименьшее значение на отрезке [–2; 2];

8) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная перпендикулярна оси Oy;

9) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная образует с положительным направлением оси Ox угол 60°;

10) абсциссу точки графика функции y = f(x), в которой угловой коэффициент касательной принимает наименьшее значение.

Для закрепления навыков исследования свойств функции на дом ученикам можно предложить задачу, связанную с чтением одного и того же графика, но в одном случае — это график функции, а в другом — график ее производной.

Статья опубликована при поддержке форума сисадминов и программистов. На "CyberForum.ru" Вы найдёте форумы о таких темах, как программирование, компьютеры, обсуждение софта, web-программирование, наука, электроника и бытовая техника, карьера и бизнес, отдых, человек и общество, культура и искусство, дом и хозяйство, авто, мото и многое другое. На форуме Вы сможете получить бесплатную помощь. Подробнее Вы узнаете на сайте, который располагается по адресу: http://www.cyberforum.ru/differential-equations/.

Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [–6; 5]. На рисунке приведен:

3) абсциссу точки графика функции y = f(x), в которой она принимает наибольшее значение на отрезке [2; 4];

4) количество точек графика функции y = f(x), в которых касательная параллельна оси Ox (или совпадает с ней).

Для проведения контроля можно организовать работу в парах: каждый учащийся заранее заготавливает на карточке своему партнеру график производной и ниже предлагает 4–5 вопросов на определение свойств функции. На уроках они обмениваются карточками, выполняют предложенные задания, после чего каждый проверяет и оценивает работу партнера.