Функция y = f(x) имеет пределом число А при стремлении х к а, если для каждого числа е>0 найдется такое число δ>0, что

Производной функции f(x) называется предел отношения прира-щения функции Δу к приращению аргумента Δх в точке х при стремлении Δх к нулю:

Приращение аргумента и функции. Пусть функцияу=f(x) определена на некотором интервале,х₀их– два произвольных значения аргумента из этого интервала. Разность между двумя значениями аргумента называетсяприращением аргумента: х – х₀ = х, откудах = х₀ + х, то есть значение аргументахможно определить черезх₀ и егоже приращениех.

Как видно из рис.1, приращение аргумента х изображается приращением абсциссы точки графика функции у = f(x), а приращение функции f – приращение ординаты этой точки.

Вычисление приращения любой функции у = f(x) удобно проводить по следующей схеме:

функция определена в точке х₀и в некоторой окрестности, содержащей эту точку;

предел приращения функции равен нулю при стремлении приращения аргумента к нулю, то есть

Определение производной.Задачанахождения скорости процессовпривела к введению в математику понятия производной функции.

Пусть дана функция f(x), определенная на некотором интервале ]a, b[ и непрерывная на нем. Дадим аргументу приращениех, тогда функция получит приращениеf:

является функцией от хи выражает среднюю скорость изменения функцииf(x)относительно аргументахна интервалех, х+х.

Предел отношения f/xприращения функцииfк приращению аргументах, когдахстремится к нулю, при условии, что этот предел существует, называетсяпроизводной функцииf(x) в точке.

Таким образом, можно сделать следующий вывод: производная функции y = f(x):

В этом и состоит физический(в том числе механический) смысл производной.

Процесс нахождения производной называется дифференцированием, поэтому выражение «продифференцировать функцию» равносильно выражению «найти производную функции».

По уравнению непрерывной линии у = f(x)найдем угловой коэффициент касательной к ней в данной точкеМ(х; f(x)),предполагая, что касательная существует.

Функция y = f(x) в прямоугольной системе координат изображается кривой (рис.2). Возьмем на кривой точкуМ(х; f(x)) и дадим аргументухприращениех. По значению аргументах+х получаем новое значение функцииf(x + x), соответствующее точкеМ(х +х; f(х + х)) на кривой. Проведем секущуюММи обозначим угол наклона секущей к осиОхчерез. Из рисунка следует, чтоf/x=tg. Прих  0 точкаМперемещается вдоль кривой, приближаясь к точкеМ. СекущаяММповорачивается вокруг точкиМ, и величина углаизменяется. При приближении секущейММк касательнойМТуголприближается к углу и

Итак, угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке равен значению ее производной в точке касания. В этом и состоит геометрический смысл производной.