п.5. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме записи. Свойства модуля комплексных чисел.

Теорема. (Об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.)

Пусть , где и , где – два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда

Доказательство.

Отсюда вытекает правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме записи.

Для того, чтобы перемножить два комплексных числа в тригонометрической форме записи нужно перемножить их модули, а аргументы сложить.

Следствие 1. Пусть k натуральное число и . Пусть далее , где – произвольные n комплексных чисел записанных в тригонометрической форме записи. Тогда

Доказательство проводится индукцией по числу сомножителей и предоставляется читателю.

Следствие 2. Пусть n натуральное число и – произвольное комплексное число в тригонометрической форме записи. Тогда

Пусть – произвольные комплексные числа и соответствующие точки на комплексной плоскости. Тогда:

1) и . Т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей и модули противоположных чисел равны;

2) расстояние между точками и комплексной плоскости равно модулю разности соответствующих комплексных чисел: ;

, где и ,

Таким образом, равенства и есть тригонометрическая форма записи числа , следовательно, по теореме о равенстве комплексных чисел в тригонометрической форме записи, имеем , ч.т.д.

Далее, т.к. , то по только что доказанному свойству , ч.т.д.

Заметим, что последнее равенство можно получить и из других соображений.

Противоположные числа на комплексной плоскости изображаются точками симметричными относительно начала координат. Действительно, пусть . Тогда и точки , имеют противоположные декартовые координаты. Значит, в силу симметрии, расстояния от этих точек до начала координат равны, т.е. , ч.т.д. Заметим, также, что такой же результат можно получить с помощью формулы (12) вычисления модуля комплексного числа.

2). Пусть , . Тогда и по формуле (12) имеем:

С другой стороны, рассмотрим числа и как точки на комплексной плоскости. Тогда точка имеет декартовые координаты , а и искомое расстояние между ними вычисляется по формуле (14), ч.т.д.

3) Рассмотрим на комплексной плоскости точки , и начало координат О. В общем случае эти три точки являются вершинами треугольника :

Воспользуемся известным свойством треугольника: длина стороны треугольника не превосходит суммы длин двух его других сторон.

Мы только что доказали, что длина стороны этого треугольника равна , а длины сторон и равны по определению модулям чисел и : , . Отсюда и получаем, что .

Заменим в последнем неравенстве число на противоположное число , тогда получаем:

Заметим, что равенство в этих неравенствах достигается тогда и только тогда, когда треугольник вырождается в отрезок прямой, т.е. когда все три точки О, и лежат на одной прямой.

4) , откуда следует

. Поменяв местами и , получаем

, откуда и следует доказываемое неравенство.

Теория комплексных чисел имеет много приложений в различных областях математики. Не могу удержаться от искушения привести хотя бы один такой пример, относящийся к области теории чисел.

Определение. Говорят, что натуральное число n представимо в виде суммы двух квадратов, если существуют такие целые числа х и у, что выполняется равенство:

Теорема. Если два числа представимы в виде суммы двух квадратов, то их произведение также представимо в виде суммы двух квадратов.

Доказательство. Пусть и , где .

Нам нужно доказать, что найдутся два целых числа а и b такие, что .

С этой целью рассмотрим два комплексных числа и .

Тогда и по формуле (12) имеем: .

С другой стороны, , . Так как , то или , то отсюда получаем равенство: , где , ч.т.д.