Th. Пусть ф-цияfзадана на множествеX, функцияg-на множествеYиf(X)Y. Если сущ-ет конечные или бесконечные пределы.

то при x→x₀ сущ-т предел (кон-й или беск-й) сложный функцииg[f(x)], причем

Зам1. Если ф-ция gнепр-на в точкеy₀, т.е.,

то формулу (3) можно записать виде

Иначе говоря, предельный переход перестановочен с операцией взятия непр-ой ф-ции. В самом деле согласно Th..

Отсюда => в частности что непре-ая ф-ция от непр-й ф-ции непр-на, точнее:

След. Если ф-ция fнепр-на в точкеx₀, а ф-цияgнепр-на в точкеy₀=f(x₀), то и их композицияg°fнепрерывна в точкеx₀.

Действительно, непрерывность ф-ции fв точкеx₀ означает, что

Поэтому в силу непр-ти ф-ции gв точкеy₀ из формулы (5) получим

Зам2. Обычно, когда говорят, что некоторая ф-ция в данной точке имеет предел, что имеют в виду, что этот предел конечный, а случай бесконечного предела оговаривают особо.

I. x(0,)

S=

sinx<x<

<1<

cosx<<1

II. x(-,0)

x=-t t(0,)

==

Для N:n>N||<

>0 Kn>K||<

≤≤

∙

Две б.м. функций сравниваются между собой с помощью их отношения(сумма, разность и произведение).

3)Если Lim(х)/(х)<при хх₀>=1, то(х) и(х) – эквивалентные б.м.. Иногда нужно оценивать как высок порядок б.м. более высокого порядка, поэтому

4)Если Lim(х)/b n (х)<при хх₀>=А0, то(х) – б.м.n-го порядка относительно(х)

Замечания: Для сравнения б.м. функций, при х∞, х+\-∞, хх₀+\-. Существует аналогичное правило.

1) Если α(x)=(β(x)) в т.а

=> они эквивалентны

α(x)∙β(x)= (α(x))

Для раскрытия неопределённостей вида [0/0] часто бывает полезным применить принцип замены б. м. эквивалентными.