Пусть существуют конечные пределы и числовых последовательностей < x_n > и < y_n > . Тогда предел суммы, разности и произведения последовательностей равен, соответственно, сумме, разности и произведению их пределов. Предел частного последовательностей равен частному пределов при условии, что b ≠ 0 и y_n ≠ 0 для всех n :

Формулировки всех определений, теорем и свойств сходящихся последовательностей собраны на странице

Поскольку существует предел , то имеется функция такая, что для любого положительного числа ε ₁ выполняется неравенство:

Поскольку существует предел , то имеется функция такая, что для любого положительного числа ε ₂ выполняется неравенство:

Пусть существуют конечные пределы и последовательностей и . Тогда предел суммы и разности последовательностей равен сумме и разности их пределов:

Чтобы доказать свойство суммы и разности (1), нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняется неравенство:

При этом мы имеем функции и , при которых выполняются неравенства (5) и (6), для любых положительных и .

Последнее неравенство справедливо при и . Положим . Тогда, при и ,

Пусть, при заданном ε , есть наибольшее из чисел и . Тогда

То есть мы нашли такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняется неравенство:

Это и означает, что число a ± b является пределом последовательности .

Пусть существуют конечные пределы и числовых последовательностей и . Тогда предел произведения последовательностей равен произведению их пределов:

Для доказательства свойства произведения (2), нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняется неравенство

При этом мы имеем функции и , при которых, для любых положительных и , выполняются неравенства (5) и (6):

Поскольку последовательность имеет конечный предел, то она ограничена некоторым положительным числом M_y : (см. Основные свойства пределов последовательностей). Применим (5) и (6). Тогда

Пусть, при заданном ε , есть наибольшее из чисел и . Тогда

То есть мы нашли такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняется неравенство:

Это и означает, что число является пределом последовательности .

Пусть существует конечный предел числовой последовательности . И пусть последовательность образована из , умножением ее на постоянное число C . Тогда постоянную C можно выносить за знак предела:

Это свойство является следствием свойства произведения последовательностей. Для доказательства рассмотрим последовательность, все элементы которой равны числу C : . Предел этой последовательности равен этому числу:

Применим свойство произведения последовательностей:

Пусть существуют конечные пределы и числовых последовательностей и . Причем и для всех n . Тогда предел частного последовательностей равен частному их пределов:

Для доказательства свойства частного (4), нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого положительного , выполняется неравенство:

При этом мы имеем функции и , при которых, для любых положительных и , выполняются неравенства (5) и (6):

Это неравенство выполняется при одновременном выполнении трех неравенств:

Подставим , . И пусть обозначает максимальное из чисел . Тогда

при которой, для любого положительного , выполняется неравенство

Это и означает, что число a/b является пределом последовательности .

Пусть существует конечный предел числовой последовательности . И пусть последовательность составлена из элементов , взятых по абсолютной величине. Тогда

Для доказательства этого свойства, нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого положительного , выполняется неравенство:

При этом у нас есть функция , при которой выполняется неравенство (5):