Степенные и функциональные ряды могут быть сходящимися на множестве действительных чисел, на определенном интервале, или быть расходящимися. Установка радиуса сходимости и области сходимости ряда является важным при исследовании рядов. Радиус сходимости равный половине ширины области сходимости. На практике обе характеристики найти не трудно и Вы в этом скоро убедитесь.

Вычисления: Для оценки сходимости ряда составим ряд с модулей членов заданного ряда, то есть ряд с последующим общим членом

Далее, исходя с того что полученный ряд имеет положительные члены - исследовать его на сходимость будем с помощью признака Даламбера:

Для этого выписываем следующий после общего член ряда

и подставляем в формулу предела. Вид членов ряда непрост, поэтому будьте внимательны при упрощении предела

Наконец приходим к экспоненте и функциональному множителю.

- область сходимости ряда.

Итак, ми нашли - радиус сходимости и

- область сходимости ряда в виде интервала.

Для себя запомните, что радиус сходимости функционального ряда равен половине расстояния между крайними точками области сходимости.

Вычисления: Составим ряд из модулей членов заданного ряда, то есть с общим членом

Нетрудно видеть что такой прием позволяет получить ряд с положительными членами и при этом исследовать его на сходимость с помощью признака Даламбера.

При пределе меньшей единицы - ряд убывает за Даламбером.

- область сходимости в виде ограничений переменной.

В итоге мы нашли R=4 - радиус сходимости ряда и его область сходимости

определены на всей действительной оси, то есть область определения следующая

Поскольку новый ряд имеет положительные члены - исследуем на сходимость по Даламберу:

При - ряд совпадает по теореме Даламбера, то есть необходимо, чтобы выполнялись условия

Отсюда находим R = 2 - радиус сходимости ряда и (0; 4) - область сходимости.

определены для всех действительных переменных то есть область определения следующая

Снова применяем признак Даламбера для исследования ряда на сходимость

За Даламбером при пределе меньше единицы - ряд убывает.

Вы могли увидеть такую закономерность что значение которое ограничивает модуль с переменной и является радиусом сходимости ряда.

Область сходимости имеет в два раза большую длину и определяется раскрытием модуля.

определены при то есть

Исследуем его на сходимость по признаку Даламбера. Выписываем следующий после общего члена ряда

– область сходимости ряда.

Все что находится справа от модуля это R = 1/3 - радиус сходимости ряда, а ограничения на "икс"

– это область сходимости.

определены на всей действительной прямой , их область определения имеет вид .

По схеме составляем ряд из модулей членов заданного ряда

Образованный ряд будем анализировать на сходимость по признаку Даламбера

- область сходимости и R=1/2 – радиус сходимости.

В виде интервала записываем область сходимости ряда

Вычисления: Члены функционального ряда определены на действительной оси

Исследуем ряд с модулей на сходимость по признаку Даламбера:

Находим предел отношения следующего члена ряда общему

Поскольку A=0<1 то ряд сходится при всех действительных переменных, то есть имеет неограниченную - область сходимости.

Ряд имеет бесконечный радиус сходимости.

Вычисления: Члены ряда определены на множестве действительных чисел

Далее записываем общий и следующий после него члены ряда

- область сходимости ряда

В виде интервала записываем в ответ область сходимости

Теперь Вы знаете как найти область сходимости и радиус сходимости ряда. Пользуйтесь приведенными формулами и успешной Вам сдачи сессии.