Пример. Метод непосредственного интегрирования неопределенного интеграла.

Дано: интеграл

Вычислить неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования.

Метод непосредственного интегрирования: воспользовавшись свойством линейности

применяя тождественные преобразования подынтегрального выражения, исходный интеграл сводится к нескольким более простым, которые могут быть вычислены непосредственно по таблице интегралов.

Используя вышеприведенное, применив основное тригонометрическое тождество , получим следующее:

Далее, разделив каждое слагаемое числителя подынтегрального выражения на знаменатель и воспользовавшись таблицей интегралов от элементарных функций (ссылка) получим следующее:

Ответ:

Пример. Метод интегрирования по частям неопределенного интеграла.

Дано: интеграл

Вычислить неопределенный интеграл методом интегрирования по частям.

Метод интегрирования по частям: подынтегральное выражение представляем в виде произведения некоторой функции u на дифференциал другой функции dv: . Далее, используя формулу интегрирования по частям заменяем исходный интеграл другим который, как правило, более простой для вычисления.

Применим вышесказанное к нашему интегралу. Считаем , тогда

Воспользовавшись вышеприведенной формулой, в итоге получим следующее:

Ответ:

Пример. Метод замены переменной неопределенного интеграла.

Дано: интеграл

Вычислить неопределенный интеграл методом замены переменной.

Метод замены переменной: вместо исходной переменной x, вводится новая переменная k, связанная с x соотношением: , где — дифференцируемая функция переменной x.

Применяем вышеприведенное к нашему интегралу, обозначаем через новую переменную интегрирования k выражение, стоящее в знаменателе подинтегральной функции значит, . Получаем преобразованный интеграл:

Вычисляем полученный интеграл по переменной k и возвращаемся к старой переменной x, с учетом того, что

Ответ: