Функции и называют бесконечно малыми при , если и

Функции и называют эквивалентными бесконечно малыми при , если

Очень удобно пользоваться заменой эквивалентных бесконечно малых при нахождении пределов. Замена производится на основе таблицы.

Пусть - бесконечно малая при .

Эквивалентность всех величин таблицы можно доказать, основываясь на равенстве .

Доказать эквивалентность бесконечно малых величин и .

Вычислим предел отношения этих величин

Используя одно из свойств логарифма получим

Так как функция логарифма непрерывна на области определения, то можно воспользоваться свойством предела непрерывных функций и поменять местами знак предельного перехода и знак функции логарифма:

Проведем замену переменных . Так как - бесконечно малая функция при , то , следовательно, .

Полученная единица доказывает эквивалентность исходных бесконечно малых величин. В последнем переходе мы использовали второй замечательный предел.

Таблица эквивалентных бесконечно малых очень сильно ускоряет процесс решения, хотя без нее, конечно, можно обойтись. Вопрос – нужно ли только.

Найти предел

Пришли к неопределенности ноль делить на ноль. Эта неопределенность указывает на то, что и в числителе и в знаменателе находятся бесконечно малые функции. Обратимся к таблице эквивалентных бесконечно малых: функция эквивалентна , следовательно, эквивалентна .

Таким образом, после замены бесконечно малой функции ей эквивалентной, предел примет вид:

Без наличия таблицы эквивалентных бесконечно малых мы бы воспользовались, например, правилом Лопиталя:

Как вариант, можно было преобразовать функцию с использованием формул тригонометрии и применить первый замечательный предел: