Ниже приведены некоторые тригонометрические формулы, которые могут понадобится при интегрировании тригонометрических функций.

cos 2 a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a

Здесь мы рассмотрим стандартные подстановки, с помощью которых, в большинстве случаев, выполняется интегрирование тригонометрических функций.

Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции

arcsin φ , arctg φ , и т.д., где φ – некоторая алгебраическая функция от x , нередко интегрируются по частям, полагая u = arcsin φ , u = arctg φ , и т.д.

Вначале, если это необходимо, подынтегральное выражение нужно преобразовать, чтобы тригонометрические функции зависели от одного аргумента, который совпадал бы с переменной интегрирования.

Например, если подынтегральное выражение зависит от sin( x+a ) и cos( x+b ) , то следует выполнить преобразование:

cos ( x+b ) = cos ( x+a – ( a–b ) ) = cos ( x+a ) cos ( b–a ) + sin ( x+a ) sin ( b–a ) .

После чего сделать замену z = x+a . В результате, тригонометрические функции будут зависеть только от переменной интегрирования z .

Когда тригонометрические функции зависят от одного аргумента, совпадающим с переменной интегрирования (допустим это z ), то есть подынтегральное выражение состоит только из функций типа sin z , cos z , tg z , ctg z , то нужно сделать подстановку

Такая подстановка приводит к интегрированию рациональных или иррациональных функций (если есть корни) и позволяет вычислить интеграл, если он интегрируется в элементарных функциях.

Однако, часто можно найти другие методы, которые позволяют вычислить интеграл более коротким способом, основываясь на специфике подынтегрального выражения. Ниже дано изложение основных таких методов.

Рациональные функции от sin x и cos x – это функции, образованные из sin x , cos x и любых постоянных с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целочисленную степень. Они обозначаются так: R (sin x, cos x ) . Сюда также могут входить тангенсы и котангенсы, поскольку они образованы делением синуса на косинус и наоборот.

Методы интегрировании рациональных тригонометрических функций следующие.

1) Подстановка всегда приводит к интегралу от рациональной дроби. Однако, в некоторых случаях, существуют подстановки (они представлены ниже), которые приводят к более коротким вычислениям.

2) Если R (sin x, cos x ) умножается на –1 при замене cos x → – cos x , то выполняется подстановка t = sin x .

3) Если R (sin x, cos x ) умножается на –1 при замене sin x → – sin x , то выполняется подстановка t = cos x .

4) Если R (sin x, cos x ) не меняется как при одновременной замене cos x → – cos x , и sin x → – sin x , то применяется подстановка t = tg x или t = ctg x .

Если m и n – рациональные числа, то одной из подстановок t = sin x или t = cos x интеграл сводится к интегралу от дифференциального бинома.

Если m и n – целые числа, то интегрирование выполняется с помощью формул приведения:

где P(x) – многочлен от x , интегрируются по частям. При этом получаются следующие формулы:

где P(x) – многочлен от x , интегрируются с помощью формулы Эйлера

Для этого методом, изложенном в предыдущем пункте, вычисляют интеграл

Выделив из результата действительную и мнимую часть, получают исходные интегралы.

Ниже приведены ряд нестандартных методов, которые позволяют выполнить или упростить интегрирование тригонометрических функций.

Если подынтегральное выражение зависит только от a sin x + b cos x , то полезно применить формулу:

Наиболее простой способ интегрирования заключается в разложении дроби на более простые, применяя преобразование:

sin( a – b ) = sin( x + a – ( x + b ) ) = sin( x+a ) cos( x+b ) – cos( x+a ) sin( x+b )

удобно выделить целую часть дроби и производную знаменателя

a ₁sin x + b ₁cos x = A ( a sin x + b cos x ) + B ( a sin x + b cos x )′ .

Постоянные A и B находятся из сравнения левой и правой частей.

Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.