Тригонометрическим рядом Фурье называется ряд вида

где числа - коэффициенты Фурье.

Коэффициенты Фурье вычисляются по следующим формулам:

Как мы только что установили, в отличие от степенного ряда, в ряде Фурье вместо простейших функций взяты тригонометрические функции

Все вышеперечисленные функции являются периодическими функциями с периодом . Каждый член тригонометрического ряда Фурье является периодической функцией с периодом .

Поэтому и любая частичная сумма ряда Фурье -периодична. Отсюда следует, что если ряд Фурье сходится на отрезке , то он сходится на всей числовой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности периодических частичных сумм, является периодической функцией с периодом .

Вышеупомянутое свойство видно на графике внизу: здесь график суммы ряда для функции f(x) = x . Вне отрезка сумма ряда является периодическим продолжением данной функции: график функции бесконечно повторяется справа и слева.

Пусть функция , определённая на всей числовой прямой и периодическая с периодом , является периодическим продолжением функции f(x) , если на отрезке F(x) = f(x)

Если на отрезке ряд Фурье сходится к функции f(x) , то он сходится на всей числовой прямой к её периодическому продолжению.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях ряд Фурье функции f(x) сходится к этой функции, даёт следующая теорема.

Теорема. Пусть функция f(x) и её производная f ' (x) - непрерывные на отрезке или же имеют на нём конечное число точек разрыва 1-го рода. Тогда ряд Фурье функции f(x) сходится на всей числовой прямой, причём в каждой точке , в которой f(x) непрерывна, сумма ряда равна f(x) , а в каждой точке разрыва функции сумма ряда равна

где и . На концах отрезка сумма ряда равна

В любой точке сумма ряда Фурье равна F(x) , если x - точка непрерывности F(x) , и равна

Пусть функция f(x) определена на отрезке и является чётной, т. е. f(- x) = f(x) . Тогда её коэффициенты равны нулю. А для коэффициентов верны следующие формулы:

Пусть теперь функция f(x) , определённая на отрезке , нечётная, т.е. f(x) = - f( - x) . Тогда коэффициенты Фурье равны нулю, а коэффициенты определяется формулой

Как видно из формул, выведенных выше, если функция f(x) чётная, то ряд Фурье содержит только косинусы, а если нечётная, то только синусы.

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. Это нечётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённый интеграл:

Это равенство справедливо для любого . В точках сумма ряда Фурье по приведённой во втором параграфе теореме не совпадает со значениями функции , а равна . Вне отрезка сумма ряда является периодическим продолжением функции , её график приводился выше в качестве иллюстрации суммы ряда.

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. Это чётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённые интегралы:

Это равенство справедливо для любого , так как в точках сумма ряда Фурье в данном случае совпадает со значениями функции , поскольку .

Пусть функция f(x) определена на отрезке [- l, l] ( l - произвольное положительное число). Тогда формула ряда Фурье этой функции принимает вид

Пример 3. Разложить в ряд Фурье с периодом 2l функцию f(x) , которая на отрезке [- l, l] задаётся формулой .

Решение. Это чётная функция, поэтому её коэффициент Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённые интегралы:

Это равенство справедливо для любого , а это значит, что ряд сходится на всей числовой прямой.