В общем случае уравнение степени выше четвертой не разрешимо в радикалах. Однако, иногда можно отыскать корни многочлена, который находится в левой части уравнения высшей степени, представив его в виде призведения многочленов степени не выше четвертой. Таким образом, разложение многочлена на множители лежит в основе решения таких уравнений, поэтому, рекомендуем подробно изучить этот раздел, прежде чем двигаться дальше.

Достаточно часто рассматриваются уравнения высших степеней с целыми коэффициентами. В этом случае можно попытаться найти рациональные корни уравнения, после чего можно разложить на множители многочлен, находящийся в левой части исходного уравнения, тем самым перейти к нахождению корней уравнения, степень которого будет ниже.

В этой статье как раз разберемся с решением уравнений высших степеней с целыми коэффициентами.

Любое уравнение вида можно свести к приведенному уравнению той же степени домножив обе его части на и выполнив замену переменной вида :

Полученные коэффициенты тоже будут целыми.

Таким образом, будем решать приведенное уравнение степени n с целыми коэффициентами вида .

Целые корни уравнения , i=1, 2, …, m ( m – количество целых корней уравнения) находятся среди делителей свободного члена . То есть, первым делом выписываем делители свободного члена и подставляем их по очереди в исходное равенство для проверки. Перебираем их по очереди, пока не получим тождество. Как только тождество получено, то первый целый корень уравнения найден и уравнение предстает в виде , где - корень уравнения, а - частное от деления на .

Продолжаем подставлять выписанные ранее делители в уравнение , начиная с (так как корни могут повторяться). Как только получаем тождество, то корень найден и уравнение предстает в виде , где - частное от деления на .

И так продолжаем перебор делителей, начиная с . В итоге найдем все m целых корней уравнения и оно представится в виде , где - многочлен степени n-m . Весь этот процесс удобно проводить по схеме Горнера.

Дробных корней приведенное уравнение с целыми коэффициентами иметь не может.

Находим оставшиеся корни (иррациональные и/или комплексные) из уравнения любым способом.