По определению функция непрерывна в точке справа (слева), если

(соответственно )

Непрерывность в точке можно определить также следующим образом: функция непрерывна в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе и в самой точке , и существуют пределы и такие, что

Если функция такова, что для нее существуют пределы , , однако равенства (1) не выполняются, то очевидно, она разрывна (не непрерывна) в точке . В этом случае говорят, что функция в точке имеет разрыв первого рода.

На рис. 18 – 23 приведены шесть графиков функций, имеющих разрыв первого рода в точке . Буква обозначает точку графика функций. Стрелка на конце куска кривой обозначает, что концевая точка, где находится стрелка, выброшена.

На рис 18 – 21 даны графики функций, для которых все три числа , , имеют смысл. На рис. 18 три числа , , попарно различны – функция не только разрывна в , но разрывна также справа и слева. На рис. 19 функция непрерывна слева в , но разрывна справа. На рис. 21 . В этом случае говорят, что функция имеет в точке устранимый разрыв – ведь ее можно видоизменить в точке , положив , и она сделается непрерывной в этой точке. На рис. 22 функция не определена в точке . На рис. 23 функция тоже не определена в точке , но , поэтому, если доопределить в этой точке, положив , то функция станет непрерывной в точке .

В случаях рис. 22 и 23 функция определена в окрестности точки, за исключением самой точки . В таких случаях часто говорят, что разрывна в , хотя идея непрерывности и разрывности в точке есть идея сопоставления с при , близких к .

Если у функции не существует правого предела или левого предела в точке , или не существует как правого, так и левого предела, или же эти пределы бесконечны, то говорят, что она имеет разрыв второго рода в этой точке.

в точке не имеет правого и левого пределов (см. пример 3 §3.2). Следовательно, она имеет разрыв второго рода в точке .

очевидно, непрерывна для , а в точке имеет разрыв первого рода. При этом , .

П р и м е р 3. Функция - целая часть - для имеет график, изображенный на рис. 24. Она непрерывна для нецелых , а если целое, то и , и, следовательно, имеет место разрыв первого рода.

непрерывна для . Правый и левый пределы в точке равны бесконечности, поэтому функция имеет разрыв второго рода в этой точке. В этом случае также говорят, что функция имеет бесконечный разрыв в этой точке.

Т е о р е м а 1. Если функция не убывает на отрезке , то существуют пределы и .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия следует, что

т. е. ограничена сверху числом на полуинтервале . Но тогда существует точная верхняя грань на этом полуинтервале:

В силу свойства точной верхней грани для всякого найдется такое, что

а в силу того, что не убывает, имеет место

и мы доказали, что существует левый предел в точке :

Аналогично, рассматривая неравенство для , докажем существование

С л е д с т в и е. Если функция не убывает на отрезке , то в любой точке существует правый предел и в любой точке существует левый предел .

В самом деле, для точек это утверждение доказано в теореме 1. Пусть . На отрезках и функция не убывает, поэтому по теореме 1 существуют , и .

В данном случае, очевидно, что для того чтобы функция была непрерывной в точке , необходимо и достаточно, чтобы .

Если , то функция имеет в точке разрыв первого ряда.

Т е о р е м а 2. Множество точек разрыва функции , неубывающей на отрезке , не более чем счетно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция имеет больше чем одну точку разрыва, и пусть и - два какие-либо из них. Так как

и интервалы , оси не пересекаются.

Каждой точке разрыва функции соответствует интервал . Внутри его выберем одну рациональную точку . После сказанного ясно, что разным точкам разрыва соответствуют разные точки . Но множество всех рациональных чисел счетно. Поэтому множество всех точек , также как и множество всех точек (разрыва ), не более чем счетно. Теорема доказана.