Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд Тейлора применяют для апроксимации функции многочленами. То есть, линеаризация уравнений проходит путем разложения в ряд Тейлора и отсечения каждого члена старше 1-го порядка.

Функция f(x) бесконечно дифференцируется в некоторой окрестности т.a:

Т.е., рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки a является степенной ряд относительно двучлена x - a типа:

Если f есть аналитическая функция во всякой точке a, то ряд Тейлора этой функции во всякой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.

Есть бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, однако, при этом отличается от функции во всякой окрестности a. Вариант, предложенный Коши:

У этой функции каждые производные в 0 равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке a=0 равны 0.

Если у функция f(x) есть непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то эту функцию можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

Если это разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , значит, оно является рядом Тейлора, который представляет разложение функции f (x) в т.a.

Если a = 0, значит, это разложение является рядом Маклорена:

1. Экспонента: ,

3. Биномиальное разложение: для всех |x|<1 и всех комплексных α, где:

,

для всех |x|<1,

• для всех |x|<1,

• Конечный геометрический ряд: для всех ,

• Синус: ,

• Косинус: ,

• Тангенс: для всех где — Числа Бернулли,

• Секанс: для всех где — числа Эйлера,

• Арксинус: для всех |x|<1,

• Арккосинус: для всех |x|<1,

• Арктангенс: для всех |x|<1,

• ,

• ,

• для всех ,

• для всех |x|<1,

• для всех |x|<1,