Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, т.е. функцию представлять в виде суммы степенного ряда.

Рядом Тейлора для функции называется степенной ряд вида

.

Если , то получим частный случай ряда Тейлора

,

Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причем полученные ряды имеют тот же промежуток сходимости, что и исходный ряд.

Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать по правилам сложения и умножения многочленов. При этом промежуток сходимости полученного нового ряда совпадает с общей частью промежутков сходимости исходных рядов.

Для разложения функции в ряд Маклорена необходимо:

Вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке , т.е. , , ,…, ;

Составить ряд Маклорена, подставив значения функции и ее последовательных производных в формулу ряда Маклорена;

Найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле

, .

Таблица, содержащая разложения в ряд Маклорена некоторых элементных функций:

.

.

.

.

.

.

Пример 9. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Так как , то, заменяя на в разложении , получим:

, .

Пример 10. Выписать ряд Маклорена функции .

Решение. Так как , то воспользовавшись формулой , в которой заменим на , получим:

,

,

, т.е. .

Пример 11. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Воспользуемся формулой . Так как

, то заменив на получим:

, или

,

где , т.е. .

Задание для практической работы по теме «Выделение знакоположительного, знакочередующегося и степенного ряда. Разложение элементарных функций по формуле Тейлора»

1. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд.

2. Найти промежутки сходимости нижеследующих рядов и выяснить вопрос об их сходимости на концах промежутков сходимости.

3. Используя разложения в ряд Маклорена функции , , , , разложить степенные ряды функции.

Множество – совокупность некоторых объектов. Примерами множеств являются множества чисел, множества точек прямой, множество линий и др. Каждое отдельное множество задается правилом или законом, позволяющим судить, принадлежит объект данному множеству или нет.

Множества обозначаются прописными буквами латинского или готического алфавита: A, B, . M, K. . Если множество A состоит из элементов a,b,c. это обозначается с помощью фигурных скобок: A= . Если a есть элемент множества A , то это записывают следующим образом: a Î A. Если же a не является элементом множества A , то пишут a Ï A. Одним из важных множеств является множество N всех натуральных чисел N= <1,2,3. >. Существует также специальное, так называемое пустое множество, которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом Æ.

Условимся вводить определение, когда это будет удобно, посредством следующего символа : = (равенства по определению), двоеточие ставится со стороны определяемого объекта.

Множества А и B равны, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть, если из x Î A следует x Î B и обратно, из x Î B следует x Î A. Формально равенство двух множеств записывается следующим образом:

это означает, что для любого объекта x соотношения xÎ A и xÎ B равносильны. Здесь " – квантор всеобщности (" x читается как "для каждого x").

Множество А является подмножествоммножества В, если любое х принадлежащее множеству А, принадлежит множеству В.

Если AÌ B, но A¹ B, то A – собственное подмножество множества В.

Пример 1. Множество <2,4,6. 2n. >является собственным подмножеством множества натуральных чисел. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Операции над множествами.Для наглядного представления операций над множествами применяются диаграммы.