В данной статье собраны основные сведения про действительные числа. Сначала дано определение действительных чисел и приведем примеры. Дальше показано положение действительных чисел на координатной прямой. А в заключение разобрано, как действительные числа задаются в виде числовых выражений.

Подобно тому, как рациональные числа объединяют целые числа и дробные числа, действительные числа объединяют рациональные и иррациональные числа. Отсюда вытекает определение действительных чисел.

Действительные числа – это рациональные и иррациональные числа.

Так как любое рациональное число может быть записано в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической дроби, а иррациональные числа представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями, то озвученное определение действительных чисел можно переформулировать следующим образом.

Действительные числа – это числа, которые могут быть записаны в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби.

Итак, по определению действительным числом является любое рациональное, а также любое иррациональное число. Это позволяет нам привести примеры действительных чисел. Например, 5 , 1 056 , −47 , 3/7 , , −5,36 , 0,45(175) , −32,149382750. , e , π , , cos3 , log₅12 - это все действительные числа. Число нуль также является действительным числом, так как 0 – рациональное число.

Из определения действительных чисел следует, что существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа, а нуль – ни положительное, ни отрицательное действительное число.

Действительные числа позволяют описывать величины, значения которых могут изменяться непрерывно, чего не позволяют делать рациональные и иррациональные числа по отдельности. Другими словами, действительные числа дают возможность численно выражать значение непрерывно изменяющейся величины через единичное (эталонное) значение этой величины.

В заключение этого пункта заметим, что действительные числа также называют вещественными.

Действительные числа заполняют каждую точку координатной прямой. Каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число – координата этой точки, а каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой. То есть, между действительными числами и точками координатной прямой существует взаимно однозначное соответствие.

Из определения действительных чисел понятно, что действительными числами являются:

• любое натуральное число;
• любое целое число;
• любая обыкновенная дробь (как положительная, так и отрицательная);
• любое смешанное число;
• любая десятичная дробь (положительная, отрицательная, конечная, бесконечная периодическая, бесконечная непериодическая).

Но очень часто действительные числа можно видеть в виде корней, степеней, логарифмов и т.п. Более того, сумма, разность, произведение и частное действительных чисел также представляют собой действительные числа (смотрите действия с действительными числами). К примеру, - это действительные числа.

А если пойти дальше, то из действительных чисел с помощью арифметических знаков, знаков корня, степеней, логарифмических, тригонометрических функций и т.п. можно составлять всевозможные числовые выражения, значения которых также будут действительными числами. Например, значения выражений и есть действительные числа.

В заключение этой статьи заметим, что следующим этапом расширения понятия числа является переход от действительных чисел к комплексным числам.