Точечные оценки являются приближенными, так как они указывают точку на числовой оси, в которой должно находиться значение неизвестного параметра. Однако оценка является приближенным значением параметра генеральной совокупности, которая при разных выборках одного и того же объема будет принимать разные значения, поэтому в ряде задач требуется найти не только подходящее значение параметра а, но и определить его точность и надежность.

Для этого в математической статистике используется два понятия - доверительный интервал и доверительная вероятность. Пусть для параметра а из опытных данных получена несмещенная оценка Требуется определить возможную при этом величину ошибки и вероятность того, что оценка не выскочит за пределы этой ошибки (надежность).

Зададимся некоторой вероятностью (например, = 0,99) и найдем такое значение > 0, для которого

Это значит, что с вероятностью точное значение параметра а находится в интервале l

Здесь параметр а - неслучайная величина, а интервал l является случайным, так как - случайная величина. Поэтому вероятность лучше толковать, как вероятность того, что случайный интервал l накроет точку а. Интервал l называют доверительным интервалом, а вероятность - доверительной вероятностью (надежностью).

Пример. Если при измерении какой-то величины Х указывается абсолютная погрешность х, то это, по существу, означает, что погрешность измерения, являясь случайной величиной, равномерно распределена в интервале (-х, х) и где Х* - измеренная величина, а х - ее точное значение. Здесь = 1, = х и l = (x*- х, x* + х).

В качестве еще одного примера рассмотрим задачу о доверительном интервале для математического ожидания. Пусть проведено n независимых опытов измерения случайной величины Х с неизвестным математическим ожиданием m_x и дисперсией 2 . На основании опытных данных Х₁, Х₂, . , Х_n построим выборочные оценки

Требуется построить (найти) доверительный интервал l, соответствующий доверительной вероятности , для среднего генерального m_x.

Так как среднее выборочное представляет сумму n независимых одинаково распределенных случайных величин то при достаточно большом объеме выборки согласно центральной предельной теоремы ее закон близок к нормальному. Существует эмпирическое правило, по которому при объеме выборки n 30 выборочное распределение можем считать нормальным.

Ранее было показано, что Найдем теперь такую величину () > 0, для которой выполняется равенство

Считая случайную величину нормально распределенной, имеем

По табличным значениям функции Лапласа Ф*(z) находим аргумент, при котором она равна . Если этот аргумент обозначить Z, то тогда

Среднее квадратичное значение приближенно можно заменить

Таким образом, доверительный интервал для среднего генерального равен:

Если пользоваться табличными значениями интеграла вероятностей

При малом объеме выборки (n < 30) полученный доверительный интервал для среднего генерального, использующий нормальное распределение случайной величины , может быть очень грубым.

Для более точного получения доверительного интервала необходимо знать закон распределения случайной величины при малом объеме выборки. Для этого воспользуемся следующим результатом. Пусть Х₁, Х₂, . , Х_n - выборка нормально распределенной случайной величины Х, тогда, как доказано, случайная величина

подчиняется распределению Стьюдента c n - 1 степенью свободы, плотность распределения которого имеет вид

где - гамма функция. Эта плотность, как видно из формулы, зависит только от числа опытов n. Ниже представлены графики плотностей нормированной (m_x = 0, = 1) нормально распределенной и с распределением Стьюдента (n = 4) случайных величин.

На основании найденных можно, пользуясь распределением Стьюдента, найти доверительный интервал для m_x , соответствующий доверительной вероятности . Действительно, так как то

по значению найдем величину а следовательно, и сам доверительный интервал l =