Определение. Три некомпланарных вектора , , , взятых в указанном порядке и приложенных в одной точке, называют тройкой векторов a, b, c.

Будем смотреть с конца вектора c на плоскость, определяемую векторами a и b. Если кратчайший поворот от вектора a к вектору b совершается против часовой стрелки, то тройка векторов a, b, c называется правой, если указанный поворот совершается по часовой стрелке, тройка a, b, c называется левой. Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными. Если одна тройка является правой, а другая -- левой, то они называются тройками различной ориентации. Если даны три некомпланарных вектора a, b и c, то они образуют 6 троек: a, b, c; b, c; a; c, a, b имеющие одну ориентацию (круговая перестановка векторов), а b, a, c; a, c, b; c, b, a имеют другую ориентацию (перестановка двух векторов).

Определение. Декартова прямоугольная система координат называется правой, если тройка базисных векторов i, j, k является правой и называется левой, если эта тройка левая. В дальнейшем будем рассматривать только правые системы координат.

Определение. Векторным произведение вектора a на вектор b называется третий вектор [a, b], удовлетворяющий следующим условиям:

• 1) |[a, b]|=|a| |b|sin φ, где φ — угол между векторами a и b;
• 2) вектор [a, b] перпендикулярен каждому из векторов a и b;
• 3) тройка (a, b, [a, b]) является правой тройкой.

где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. Тогда

Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов. Вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда

Обратно, если выполнено равенство [a, b]=0 и a≠0, b≠0, то φ=0 или φ=π, следовательно, вектора a и b коллинеарны. ■

Замечание. Эту формулу можно выразить через символический определитель третьего порядка:

Следствие. Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, вычисляется по формуле

Следствие. Площадь треугольника ABC определяется формулой:

Теорема [геометрический смысл смешанного произведения]. Смешанное произведение [a, b]c трех некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , , , взятому со знаком плюс, если тройка (a, b, c) — правая, со знаком минус, если эта тройка — левая.

Доказательство. □Рассмотрим параллелограмм, построенный на векторах , , лежащих в основании указанного параллелепипеда. Его площадь S=|[a,b]|, тогда можем написать [a, b]=Se, следовательно, [a, b]c=(Se)c=S(ec). Найдем ec = |e| pr_ec = pr_ec. С другой стороны pr_ec=±h, где h — высота параллелепипеда, опущенная на основание OADB. Знак плюс получается, если (a, b, c) — правая тройка, знак минус, если эта тройка левая. Тогда

Следствие. Векторы a, b, c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, то есть

Замечание 1. Так как верно это следствие, то смешанное произведение обозначают abc.

— это разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки. ■

Следствие [Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов]. Три вектора a, b, c компланарны тогда и только тогда, когда выполняется