Возьмем две буквы x и y . Произведение где а – число, называется одночленом. Его степень равна k+l . Сумма одночленов называется многочленом. В отличие от многочленов с одной переменной, для многочленов с большим числом переменных нет общепринятой стандартной записи.

Так же, как и многочлены от одной переменной, многочлены от двух переменных могут раскладываться на множители. Важным разложением является разложение разности n- ых степеней, которое вам известно для n=2 и 3 :

Сумма n- ых степеней легко раскладывается в случае, когда n нечетно. Слагаемое можно представить в виде и воспользоваться формулой разложения разности n- ых степеней.

Это тождество проверяется прямым перемножением скобок правой части.

Среди многочленов от двух переменных важную роль играют симметричные многочлены, т. е. многочлены, не меняющиеся при перестановке букв x и y .

Первые три многочлена называются основными: Их роль состоит в том, что любой симметричный многочлен от двух переменных может быть выражен через и с помощью операция сложения и умножения.

Рассмотрим в качестве примера разложение суммы степеней через суммы и произведение

Пусть Умножим на Так как то

Получаем тождество Зная и мы последовательно сможем вычислить для любого k .

С помощью теоремы Виета мы можем выразить любой симметричный многочлен от корней квадратного трехчлена через коэффициенты p и q , так как

Например, найдем где – корни трехчлена Воспользуемся полученной ранее формулой для суммы 5 -ых степеней: По теореме Виета Подставляя, получим

От Ньютона идет другой способ решения этой (и аналогичной ей) задачи без использования формулы для Подставим корни и в уравнение. Получим равенства

умножим равенства на и и сложим:

Аналогично случаю двух переменных можно строить многочлены от любого числа переменных. Выберем m букв Построим одночлены Многочлен – это сумма таких одночленов, снабженных числовыми коэффициентами.

Приведем несколько тождеств, в которых участвуют многочлены от нескольких переменных.

Степенью одночлена называется сумма степеней, с которыми в него входят все буквы.

Степенью многочлена называется наибольшая степень одночлена, входящего в этот многочлен (с ненулевым коэффициентом).

В первом из наших примеров в левой части стоит многочлен третьей степени с тремя переменными (буквами x, y и z ). Во втором – многочлен четвертой степени с шестью буквами a, b, c, x, y, z . В третьем – многочлен третьей степени с четырьмя буквами и

Среди многочленов с несколькими буквами большую роль играют симметричные (или симметрические) многочлены. В наших примерах первые два многочлена были симметричными. Как и в случае двух переменных, можно выделить основные симметричные многочлены:

где представляет собой сумму всевозможных произведений, взятых по k букв из данных m букв.

Аналогично случаю двух букв каждый симметричный многочлен может быть представлен как многочлен от основных симметричных многочленов.

можно преобразовать так:

Одним из наиболее известных многочленов двух переменных является бином Ньютона - разложение степени двучлена (ax + by) n в сумму одночленов. Бином Ньютона подробно будет изучаться в теме "Комбинаторика". Здесь же рассмотрим несколько упражнений, связанных с определением двучлена и упорядочиванием одночленов в представлении многочленов.

Упражнения. Ниже приведены простые инструменты для получения требуемых одночленов в разложении бинома. Для работы с инструментом надо указать сначала степень многочлена (бинома), затем степень x в разложении. При этом автоматически будет вычислена степень y. Далее нужно ввести коэффициенты при x и y, справа появится выражение для выбранного одночлена в разложении бинома.

1. Найдите первый и последний члены биномов (4x + 3y) 5 , (5x - 2y) 5 .

2. Определите наибольшие по абсолютной величине коэффициенты в каждом разложении. Для каких степеней одночленов они получаются?