Пусть - непрерывная функция комплексного , определенная в области и - гладкая кривая, лежащая в , с началом в точке и концом в точке (рис. 137), заданная уравнением

. (1)

Как всегда, направление на соответствует изменению параметра от до .

Интеграл от функции вдоль кривой определяется следующим образом:

Если учесть, что и , то равенство (2) можно коротко записать так:

Таким образом, из (2) видно, что интеграл по комплексному переменному есть сумма двух криволинейных интегралов, и его вычисление сводится к вычислению обыкновенных интегралов.

Интеграл (2) существует для любой непрерывной функции (в этом случае функции и также непрерывны) и любой гладкой кривой (т. е. когда , ) непрерывны и ).

Если кривая кусочно-гладкая и состоит из гладких ориентированных кусков , то по определению считаем

На основании свойств криволинейного интеграла легко получаем

где та же кривая, что и , но ориентированная противоположно (см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 7.4).

где - постоянные числа.

Если при , то

где - длина .

В самом деле, на основании свойства обыкновенного интеграла имеем

где есть окружность с центром в точке , ориентированная против часовой стрелки.

В самом деле, уравнение можно записать в форме

,

где - радиус окружности . Поэтому

Пример 2. При целом

где - снова окружность с центром в точке , ориентированная против часовой стрелки. В самом деле,

,

потому что для любых целых .

Теорема 1 (Коши). Если функция аналитическая на односвязной области , то интеграл от по любому кусочно-гладкому замкнутому контуру , принадлежащему , равен нулю:

Доказательство. Так как - аналитическая на функция, то функции и непрерывно дифференцируемы, и выполняются условия Коши - Римана:

, , (7)

в силу которых выражения и есть полные дифференциалы некоторых функций. Поэтому криволинейные интегралы по замкнутому контуру от этих выражений равны нулю (см. § 3.4 и 3.5). Но тогда, согласно равенству (2),

,

, ,

, ,

, ,

где - произвольный замкнутый кусочно-гладкий контур, потому что подынтегральные функции аналитические на плоскости . Ведь они имеют непрерывную производную во всех точках комплексной плоскости.

Как следствие из теоремы 1 получаем следующую теорему.

Теорема 2. Пусть область комплексной плоскости ограничена сложным положительно ориентированным кусочно-гладким контуром , т. е. при обходе по точки остаются слева. Тогда для функции , аналитической на , имеет место равенство

Поясним эту теорему. На рис. 138 изображена двусвязная область с кусочно-гладким контуром , ориентированным положительно.

Соединим контуры и гладким куском , как на рис. 139. Ориентируем двумя противоположными способами: . В результате получим новую область односвязную, ограниченную ориентированным контуром . По теореме 1

Каждый из интегралов , при этом может и не равняться нулю.

Замечание 1. Для краткости мы будем позволять себе писать «контур» вместо «замкнутый непрерывный кусочно-гладкий контур».

Теорема 3. Пусть область ограничена внешним контуром , ориентированным против часовой стрелки, и внутренними контурами , ориентированными тоже против часовой стрелки (как на рис. 140, где ), и пусть на задана аналитическая функция .

В самом деле, если считать, что - тот же контур, что и , но ориентированный по часовой стрелке, то по теореме 2

Отметим, что если в теореме 3 , то

Замечание 2. Из равенства (9), т. е. из теоремы 3 при следует, что равенства (5) и (6) остаются верными, если в них окружность с центром в точке заменить на любой замкнутый кусочно-гладкий контур содержащий внутри точку и ориентированный против часовой стрелки:

. (11)

Формулы (10) и (11) являются основными в этой теории. Именно к ним, как мы увидим, обычно сводится вычисление криволинейных интегралов от аналитических функций (см. далее § 6.10 и 6.11).