Перенесем на функции нескольких переменных основные понятия дифференциального исчисления функций одной переменной, а, именно, понятия производной и дифференциала. Для функций нескольких переменных придется определять несколько производных, точнее, столько производных, сколько независимых переменных у данной функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Придадим переменной приращение , а значение переменной менять не будем, то есть перейдем на плоскости от точки к точке ( таково, что точка принадлежит окрестности точки М). При этом значение функции также изменится. Назовем это изменение частным приращением функции по переменной : .

Аналогично можно составить частное приращение по переменной :

.

,

то он называется частной производной по переменной (по переменной ) от функции в точке .

Частные производные обозначаются одним из следующих символов: , или , или , или . Если нужно явно указать, в какой точке вычислена частная производная, то пишут, например, так: , или .

Из определения следует, что частная производная функции двух переменных равна обычной производной функции одной переменной, полученной при условии, что вторая независимая переменная сохраняет постоянное значение. Следовательно, правила и формулы отыскания частных производных те же, что и правила и формулы обычных производных функций одной переменной.

Пример 1. .

Функция определена в области . Фиксируя переменную , находим частную производную по переменной : .

Фиксируя переменную , получаем частную производную по переменной :

.

Пример 2. .

Функция определена при условии . Фиксируя переменную , находим частную производную по переменной : .

Фиксируя переменную , получаем частную производную по переменной :

.

Пример 3. . Доказать, что .

Функция определена при . Найдем частные производные:

.

.

Проверим, справедливо ли равенство, для этого вычислим величину выражения , подставив туда найденные частные производные:

,

Пример 4. .Доказать, что .

Функция определена при .

. Вычислим:

.

Можно ввести понятие частной производной порядка выше первого. Так как частные производные и какой-либо функции двух переменных сами являются, вообще говоря, функциями двух переменных, то от них опять можно брать частные производные по и . Результат дифференцирования называется частной производной второго порядка (или просто второй частной производной). Если от взять частную производную по , то есть вычислить , то результат обозначается или . От частной производной можно взять частную производную по : . Результат дифференцирования называется смешанной частной производной второго порядка и обозначается: или .

Таким же образом можно вычислить частные производные второго порядка и , полученные от дифференцирования частной производной по и по соответственно.

Справедливо утверждение: если смешанные частные производные, отличающиеся порядком дифференцирования, непрерывны, то они не зависят от порядка дифференцирования, то есть .

Пример 5.Найти частные производные второго порядка функции .

;

.

;

;

.

Так как смешанная производная второго порядка непрерывна на , то она не зависит от порядка дифференцирования, то есть .

Можно определить и производные более высоких порядков. Так для функции можно написать восемь частных производных третьего порядка:

(или ), , шестнадцать частных производных четвертого порядка и так далее.

Если рассматривать функцию трех переменных , то для нее имеем три частные производные первого порядка , девять частных производных второго порядка и так далее.

Заметим, что смешанные производные любого порядка при условии их непрерывности не зависят от порядка дифференцирования, например .

Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.