называется абсолютно сходящимся, если ряд, членами которого являются абсолютные величины членов данного ряда, т. е.

Теорема10 (критерий Коши абсолютной сходимости ряда). Для того чтобы ряд (30.40) абсолютно сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0 существовало такое n₀, что для всех номеров n > n₀ и p = 0, 1, . всех выполнялось бы неравенство

Это сразу следует из определения абсолютно сходящегося ряда и критерия Коши сходимости ряда (теорема 4 из п. 30.3).

Теорема11. Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.

u_n+k < |u_n+k|.

В самом деле, в силу критерия Коши абсолютной сходимости ряда (30.40) для любого > 0 существует такое n₀, что для всех n > n₀ и всех p > 0 правая часть неравенства (30.42) меньше . Следовательно, и левая часть этого неравенства окажется меньше , т. е. для ряда (30.40) выполняется критерий Коши сходимости рядов, и потому ряд (30.40) сходится.

1. Ряд i n /2 n абсолютно, а значит, и просто сходится. Это следует из равенства |i n /2 n | = 1/2 n и сходимости ряда 1/2 n .

2. Ряд (-1) n /n сходится (см. п. 30.5), но не абсолютно, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т. е. гармонический ряд , расходится (см. п. 30.3).

Теорема12. Линейная комбинация абсолютно сходящихся рядов является абсолютно сходящимся рядом.

Если ряды u_n и v_n абсолютно сходятся, a , C , то сходится и ряд | ||u_n| + | ||v_n|. Отсюда в силу неравенств

| u_n + v_n| < | ||u_n| + | ||v_n|, n = 1, 2, .

по признаку сравнения (см. теорему 6) следует сходимость ряда | u_n + v_n|, т. е. абсолютная сходимость ряда ( u_n + v_n) .

Теорема13. Если ряд (30.40) абсолютно сходится, то любой ряд

составленный из тех же членов, что и данный ряд, но взятых, вообще говоря, в другом порядке, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму

= u_n.

Пусть ряд (30.40) абсолютно сходится. Докажем, во-первых, что ряд (30.43) сходится и имеет ту же сумму, что и ряд (30.40), а во-вторых, что ряд (30.43) абсолютно сходится. Пусть

s = u_n, s_n = u_k, = , = |u_n|, _n = |u_k|.

Зафиксируем произвольно > 0. В силу абсолютной сходимости ряда (30.40) существует такой номер n₀, что

|u_n| = - < /2

| - | = u_n < |u_n| = < /2.

Выберем номер m₀ так, чтобы частичная сумма ряда (30.43) содержала в качестве своих слагаемых все члены ряда (30.40), входящие в сумму . Для всякого m > m₀ положим

= -

В силу выбора номера слагаемыми суммы являются члены ряда (30.40) с номерами, большими n₀. Поскольку абсолютная величина суммы не превышает абсолютных величин ее слагаемых, то

| | < |u_n| /2.

|s - | |s - ( + )| < |s - |+ | | /2 + /2 = .

Это означает, что = s. Иначе говоря, ряд (30.43) сходится и его сумма равна s, т. е. равна сумме ряда (30.40):

= s = u_n.

Второе утверждение - абсолютная сходимость ряда (30.43) - следует из уже доказанного первого утверждения, если его применить к ряду

В самом деле, если ряд (30.40) абсолютно сходится, то сходится ряд (30.48), причем он, очевидно, сходится абсолютно, так как его члены неотрицательны. Поэтому согласно доказанному сходится и любой ряд, получающийся перестановкой членов ряда (30.48), в частности, сходится ряд | |. А это и означает, что ряд абсолютно сходится.

абсолютно сходятся, то ряд, составленный из всевозможных попарных произведений u_mv_n членов этих рядов, также абсолютно сходится, причем его сумма s равна произведению сумм данных рядов: если

u_n = s', v_n = s",