Вообще говоря, такое определение формально и не имеет достаточной строгости. Поэтому более точно экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты f(x) = e x вещественного переменного x .

.

Определенное таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой.

.

Ряд всюду сходится абсолютно, т.е. вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции f(z) = e z . Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, функция e z является аналитической и определенной.

Комплексная экспонента, в отличие от экспоненты вещественного переменного, периодична. Из формулы Эйлера следует, что

.

Отметим, кроме того, что функция e z имеем чисто мнимый предел.

Из периодичности комплексной экспоненты следует, что максимальной областью однолистности будет горизонтальная полоса на комплексной плоскости

• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
• Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

Экспонента (значения) — Экспонента: Экспонента  функция , где e  основание натуральных логарифмов. Экспонента (комплексного переменного)  функция комплексного переменного , задаваемая соотношением . Экспонента группы  конечной группы   числовая… … Википедия

Экспонента — У этого термина существуют и другие значения, см. Экспонента (значения). График экспоненты. Касательная в нуле у функции … Википедия

Матричная экспонента — Экспонента функция exp(x) = ex, где e основание натуральных логарифмов. Содержание 1 Определение 2 Свойства … Википедия

Мнимая экспонента — Экспонента (комплексного переменного) функция, задаваемая соотношением f(z) = ez. Данное определение в целом формально и не имеет достаточной строгости. Поэтому, и в случае со степенной функцией, будем строго определять экспоненту с помощью… … Википедия

Экспоненциальная функция — Экспонента функция exp(x) = ex, где e основание натуральных логарифмов. Содержание 1 Определение 2 Свойства … Википедия

Комплексный анализ — Комплексный анализ[1], теория функций комплексного переменного (или комплексной переменной; сокращенно ТФКП)  раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента. Содержание 1 Общие понятия … Википедия

Логарифм — График двоичного логарифма Логарифм числа … Википедия

Аналитическое продолжение — В комплексном анализе аналитическим продолжением функции , определённой на множестве , называется аналитическая функция, которая: определена на более широком множестве , содержащем ; в области совпадает с исходной функцией . Автором данного… … Википедия

Комплексный логарифм — Наглядное представление функции натурального комплексного логарифма (главная ветвь). Аргумент значения функции обозначается цветом, а модуль яркостью. Комплексный логарифм аналитическая функция, получаемая распро … Википедия

Показательная функция — Показательная функция  математическая функция , где называется основанием степени, а   показателем степени. В вещественном случае основание степени   некоторое неотрицательное вещественное (действительное) число, а аргументом… … Википедия